四色猜想:构形的4-染色（四色猜想又称四色问题）

《四色猜想中染色困局构形的4-染色》文中的主要思想

第一：2017年12月，张彧典发现并且证明了一个重要定理：在任何一幅用四色染色的极大平面图中，不可避免地存在至少 “一个四边形之四个顶点用四种不同颜色染色”，简称为“四色顶点四边形”存在定理（即定理1），同时证明了四色顶点四边形的性质定理（即定理2）：

在四色顶点四边形中，已知对角链被它的相反对角链替换时，只会改变构形的几何结构，而不会改变构形的色图。

第二：找到了E-族（4个）构形。

1935年，《美国数学学会会刊》发表了《对已部分染色地图的一组操作》【1】给出赫伍德反例构形的基本模型，同时提出了一个Errera图（即构形），称之为“染色困局”构形。

《一种试探式的平面图四染色》【2】一文又把Errera图称之为CK图。

1992年，《已知的赫伍德范例》【3】把Errera图用它的对偶图简化表示出来，我们称之为“E构形”，就是论文中图3之E1。

为了名称的统一，我们把以上3种叫法统一为“染色困局”构形 。

2018年，他通过解析上述3个同类文献，找到了与E构形同胎的另外3个构形，这4个构形统称为“E-族构形”，分别记为E1,E2,E3,E4 。

《一种试探式的平面图四染色》中已经通过E1构形证明了一个引理，这就是：

“引理3.1 ：当初始染色为CK0时，算法2.1循环，并以20种不同染色序列为一个周期” 。

这个引理中所说的“初始染色为CK0”，就是初始的色图，“算法2.1”就是H染色程序。通过E族中的4个构形周期循环性分析，证明了它们周期循环的根本原因，主要不仅是因为构形初始染色，而且是因为它们都具有的十折对称性几何结构。为什么认识有差别呢？理由是：文献1、3、4只是考虑到E族中的一个构形即图4中E1的共性---色图CK0循环，他则与文献2一样，不仅考虑到色图循环，而且考虑到E族中的四个构形的共性---几何结构也循环。所以引理3.1 应该描述为：

引理3.1：“当具有十折对称几何结构且初始染色为CK0时，算法2.1循环，并以20种不同染色序列为一个周期”。

在文献3中，米勒她们两人给出的范例2即“E构形”，并且证明了：在“四次逆时针赫伍德颠倒之后，构形发生周期性循环”，这里我们不妨称为引理3.2。

显然，以上两个引理互为逆定理，如果把引理3.1作为原定理，那么引理3.2 就是它的逆定理，根据高中数学学习过的四种命题真假性的四种不同组合可以判定，引理3.1的四种命题都是真命题，所以它的否定理一定成立，即：

定理3：

“当初始染色的CK0不具有十折对称几何结构时，算法2.1不循环。”

把定理3推而广之，得到推论：

“如果任意放大的染色困局构形不具有十折对称几何结构时，那么H染色程序一定不循环，即经过有限次的颠倒染色后使得构形可约。

这个推论对于点与边无限、非十折对称几何结构复杂的染色困局构形的可约提供了理论证明。

对于E族4个构形，如果运用H染色程序求解，都会发生周期性循环，无法证明其可约。但是，张彧典发现，四个E构形都存在A-B或者C-D两种特征环，当在这两种特征环外颠倒与之相反的色链的染色时，都是可约的，于是产生了“张氏染色程序”（简记为Z染色程序）。也可以称为定理4.

然后，运用完全数学归纳法证明了：

对于任意具有十折对称几何结构的构形，Z染色程序可行。

包括任意放大的，只要没有破坏十折对称几何结构的基本框架，Z染色程序仍然可约。

张彧典等人通过4个定理理的确立，完成了四色猜想中染色困局构形理论性的可约证明，也就是弥补了肯普（Kempe）证明d(v)=5时的漏洞，从“实践+理论”上给出四色猜想一个完整而简短的证明。论文《四色猜想“染色困局构形”的可约证明》在2020年12月发表于《内蒙古科技》杂志39期（总462期）。2021年，他们进一步修改了这篇论文，并且翻译成英文论文《四色猜想中染色困局构形的4-染色》，在2022年发表于《应用数学与应用物理杂志》第3期（总10期），至此，完成了他们研究四色猜想的人工证明，历经40年的不懈探索，实现了阿佩尔的预见：

四色问题的一个简短证明有朝一日会被发现，甚至被因此而一举成名的天才高中生所发现。