一、二进制计算

1. 二进制转十进制整数计算

每位的数据*2的次方 值相加即可。
例：
1101 计算十进制：
1101 b = 1 ? 2 3 + 1 ? 2 2 + 0 ? 2 1 + 1 ? 2 0 = 13 1101b = 1*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 = 131101b=1?23+1?22+0?21+1?20=13

2. 十进制整数转二进制

除二取余法，例：42转二进制：

结果倒序组装： 101010b

二、原码、反码、补码、移码

1. 原码

计算机内保存数据的时候，可能会对数据进行处理。原始数据就是原码。

2. 反码

反码是将原码各位求反。

3. 补码

对原码求反码后再加1。注意：

• 补码中 数值0的值是唯一的。
• 补码运算中，符号位与数值位采用同样的运算规则进行运算；符号位相加如果进位 ， 则舍去进位。

4. 移码

偏移2n-1的情况下，移码就是将补码符号位求反。

5. 特殊数值

-127

[ ? 127 ] 原 = 11111111 [-127]_原=11111111[?127]原=11111111
[ ? 127 ] 反 = 1000000 [-127]_反=1000000[?127]反?=1000000
[ ? 127 ] 补 = 1000001 [-127]_补=1000001[?127]补?=1000001
[ ? 127 ] 移 = 0000001 [-127]_移=0000001[?127]移?=0000001

-1

[ ? 1 ] 原 = 1000001 [-1]_原=1000001[?1]原?=1000001
[ ? 1 ] 反 = 11111110 [-1]_反=11111110[?1]反?=11111110
[ ? 1 ] 补 = 11111111 [-1]_补=11111111[?1]补?=11111111
[ ? 1 ] 移 = 01111111 [-1]_移=01111111[?1]移?=01111111

三、浮点数

1. 阶码与尾数

IEEE754标准提供了两种规格的浮点格式：32位单精度格式和64位双精度格式。

32位单精度格式

64位双精度格式

其中：

• 符号位： 1表示负数，0表示正数
• 尾数：使用原码表示，规格化尾数的第一位总是1，所以1是省略的。
• 阶码：使用移码表示，偏置常数为2 n ? 1 ? 1 2^{n-1}-12n?1?1

2. 示例： +178.125基于 IEEE 754标准规格化表示

(1) 转二进制

[ + 178.125 ] 10 = [ 10110010.001 ] 2 [+178.125]_{10} = [10110010.001]_2[+178.125]10?=[10110010.001]2?

(2) 构造尾数

将10110010.001的小数点向左移7位，去掉头部的1，尾数部分补足23位：
01100100010000000000000

(3) 构造阶码

IEEE 754规定8位阶码的偏移量为127，加上偏移量后转二进制。
上一步尾数左移了7位，127+7=254，
[ 254 ] 1 0 = [ 10000110 ] 2 [254]_10 = [10000110]_2[254]1?0=[10000110]2?

(4) 符号位： 0

(5) 组合结果

0 10000110 01100100010000000000000

3. 对阶

在对浮点数进行加、减运算时，要先进行对阶，
对阶的规则是：小阶向大阶看齐；阶码小的尾数右移，每右移一位、阶码加1，直到两数阶码相等。

四、编码基础

1. 海明码

基本知识

海明码可以进行检错和纠错。海明码在原数据中的一些固定位置插入数据，以进行奇偶校检，能更正一个比特的错误；两个比特出错时，只能侦测不能更正；三个以上比特出错，则不能侦测和纠错。

海明码校验位长度：

• 2-4位：3位校验位
• 5-11位：4位校验位

示例

对0100 1101进行海明码编码，下面P表示校验位，R表示数据位：

(1) 数据和校验位填充，校验位在P1 P2 P4 P8处

(2) 计算校验位值

计算P1：从右边第1位开始把间隔1位的比特位取出来，数1数量。上表中可数得：

1数量为3奇数，进行偶校验，把P1填 1。

计算P2：从右边第2位开始隔2划2：

1数量为偶数，P2填0。

计算P3：从右边第4位隔4划4：

1的数量为偶数，P3=0。
计算P4：从右边第8位隔8划8：

计算得P4=1

编码结果：

侦测和更正

(1) 侦测校验位

将上面数据位错误的数据：

从右侧P1开始，隔1取1计算1的数量，偶数个即为正确

从右侧P2开始，隔2取2，1为奇数个，校验不通过

从右侧P4开始，隔4取4，1为奇数个，校验不通过

从右侧P8开始，隔8取8，1为奇数个，校验通过

(2) 确定出错位置

P2,P4校验不通过，2+4=6，可知第6位错误。

(3) 纠正

第6个取反即为正确数据。

2. 循环冗余校验码

循环冗余校验码(CRC)利用生成多项式为k个数据位产生r个校验位来进行编码，其编码长度为 k + r k+rk+r。

CRC由两部分组成，左边为数据，右边为校验码。如果数据占k位，则校验占n-k位。
这里n是CRC码的字长，所以又被称为(n,k)码。
求CRC编码时，采用的模2运算。

3. 哈夫曼树

构造哈夫曼树过程：
假设n个权值为w1, w2, ……, wn，准备构造的哈夫曼树有n个叶子节点，其构造规则：
从森林里选出权值最小结点合并，作为一棵新树的子树，且新权的根结点权值为其子树根节点权值之和；
从森林里删除选取的两棵树，将新树加入森林；
重复上面步骤。

示例

构造的哈夫曼树：