本文内容来源于《测绘学报》2024年第1期（审图号GS京(2024)0107号）
周建彬, 丁俊杰, 贲进, 陈艺航, 梁启爽
信息工程大学地理空间信息学院, 河南 郑州 450001
基金项目：国防科技创新特区项目(20-163-14-LZ-001-003-01)
摘要：全球离散格网系统是新型地理空间数据组织框架, 等面积格网由于在采样和空间分析方面的独特优势而备受关注, 但相关研究囿于地球表面, 缺乏扩展至三维广域空间的一般方法。本文首先提出将等积球面格网系统扩展为球体格网系统的多种剖分模式, 并实现其统一数学描述和详细数学证明; 然后引入体积和紧致度指标定量评价不同剖分模式的体元性质, 并与球体退化八叉树格网(SDOG)、大圆弧八叉树格网(SGOG)作对比; 最后初步探索了本文方法的应用案例, 讨论了不同应用需求下选择剖分模式的原则。对比试验结果表明, 退化剖分的体元各项指标均优于规则剖分, 等体积和退化剖分的体积性质优于SDOG, 紧致度性质优于SGOG。本文多剖分模式三维扩展方法不仅符合国际标准等体积的要求, 而且兼顾常规剖分设计选项, 为不同应用需求提供了参考依据。
关键词：等面积 全球离散格网系统 三维扩展 剖分 等体积 紧致度
周建彬, 丁俊杰, 贲进, 等. 地理空间数据等积全球格网多模式三维扩展方法[J]. 测绘学报，2024，53(1)：173-188. DOI:
10.11947/j.AGCS.2024.20220701
ZHOU Jianbin, DING Junjie, BEN Jin, et al. Multi-mode 3D extension methods for equal-area discrete global grid systems for geospatial data representation[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2024, 53(1): 173-188. DOI: 10.11947/j.AGCS.2024.20220701
引 言 随着科技的进步，人类活动的范围逐渐由地表延伸至地下和高空。地壳运动、板块构造、气候气象变化、城市三维建模、飞机卫星轨迹、行星探测等大范围事件或现象得到广泛关注。地下、地表、近地及深空传感器获取的数据不仅数量庞大、种类繁多、结构各异，而且呈现立体分布、跨时空尺度、跨语义层次等特点[1]。采用投影的传统地理信息技术处理这些数据会导致空间对象断裂，空间分析不准确，数据集成与共享困难等问题[2]，亟须建立面向真实地球空间的新型数据组织模式，全方位支持多源空间数据融合处理[3]和位置相关事件推演计算。
全球离散格网系统(discrete global grid system，DGGS)将地球表面递归剖分成无缝无叠的多尺度层次结构，具有统一的空间基准，有利于集成、管理多源异构空间数据[4-5]。按照剖分方法的不同，全球离散格网系统可分为基于经纬度、基于多面体和基于地理实体3种[6]，但球面格网[7-8]只能处理地表 2.5维的数据。为了处理广域多维空间数据，部分学者提出了三维全球离散格网系统构建方案。沿地球空间的经度、纬度和半径方向递归剖分，得到三维经纬格网系统(3D latitude-longitude grid system，3D LLGS)，应用于全球地壳模型[9]、计算地幔中的P波速度[10]、模拟全球大气[11]。2n一维整型编码树的地理坐标剖分格网(geographical coordinate subdividing grid with one dimension integer coding on a 2n tree，GeoSOT)[12]的三维扩展方案GeoSOT-3D是3D LLGS的改进，将经纬度扩展到更大的虚拟空间以便与二进制结合，应用于无人机碰撞检测[13-14]和应急机场选址[15]。
尽管3D LLGS结构简单，但体元(即三维立体格网单元，下同)向两极和地心迅速收缩，导致两极与赤道、地心与地表的体元相差巨大，在大区域及两极地区的应用受限[16]。针对这一问题，有学者提出旋转并重叠放置两个相同的半球格网组件构成完全覆盖球体空间的三维阴阳格网[17]，应用于地幔对流模拟[18]和全球气候变化模拟[19]。虽然该方案解决了两极附近体元变形严重的问题，但球心附近依然存在与3D LLGS相同的问题，且这种方法使得体元在阴阳组件的边界处重叠，容易造成数据冗余和计算歧义[20]。
为了解决两极和球心附近体元迅速收缩的问题，文献[2]提出球体退化八叉树格网(spheroid degenerated octree grids，SDOG)，沿两极和球心方向逐步退化剖分，保证体元的体积变化较为均匀，应用于大型地理空间对象的建模[21]和岩石圈的多尺度可视化[22]。文献[23]认为SDOG体元体积变化仍然较大，提出改进的退化八叉树格网(modified SDOG，MSDOG)方案，通过压缩和拉伸体元进一步改善了SDOG的体积性质。但MSDOG不能保证所有体元等体积，且需要综合考虑纬度、经度和地球径向3个维度的变化，方案比较复杂。
多面体等面积全球离散格网系统分布均匀，避免了两极单元收缩的问题，等面积特性有利于空间采样和分析，被国际开放地理空间信息联盟(Open Geospatial Consortium，OGC)列为标准[24]。在OGC最新的全球离散格网标准建议稿中[25]，增加了三维等体积格网的描述。OGC认为，等体积剖分具有以下优异的性质：①提供了相同粒度的空间划分，有利于空间分析；②有助于减少空间分析中因曲面面积变化产生的混杂效应；③在三维全球离散格网系统中，度量单位是体积而不是笛卡尔坐标系的长度、球(椭球)参考框架中角度，等体积有助于度量；④有助于特定应用的计算：在球(椭球)参考框架内计算体元的体积是耗时操作，若体积是常数，则计算时只需进行简单的乘法运算。因此，三维全球离散格网系统应支持等体积剖分，是本文需重点论述的三维扩展剖分模式之一。
多面体等积球面格网的单元等面积，扩展至三维只需关注径向一个维度的变化，通过控制径向的高度调整体积大小，相较于经纬格网具有天然优势。文献[16]提出先在多面体空间构建三维格网，再等体积映射至地球空间，但该方法仅能实现局部体元等体积。文献[26]基于二十面体设计了一种多尺度三维格网，在径向通过插值修正体元的体积，使得体积从球面到球心更均等。但这个针对特定应用的三维格网也不能做到严格等体积。文献[27]将四元三角网(quaternary triangular mesh，QTM)顶点连接球心构建三维大圆弧QTM八叉树格网(sphere geodesic octree grids，SGOG)，径向采用不等间距剖分保持同一径向等体积，但不能保证所有体元的体积相等且球心附近体元依然存在快速收缩的问题。
综上所述，在应用需求驱动下三维全球离散格网系统的研究已取得初步进展。但现有三维格网大多以球面经纬度格网为基础直接扩展，存在两极收缩的“先天不足”。以多面体球面格网系统为基础的扩展方案缺乏确保所有体元等体积的方法且针对特定应用，不能满足其他应用需求。本文首先在考虑不同应用需求的基础上，提出多种三维扩展剖分模式的统一数学表达式，据此设计支持等体积格网构建并顾及其他常见设计选项的剖分模式；然后，引入体积和紧致度指标定量计算格网性质并与现有方案作对比；最后，初步探索本文不同剖分模式的应用，讨论不同应用需求背景下剖分模式的选择原则。
1 多剖分模式三维扩展方法
1.1 基本思路与概念
在球面等面积格网的基础上，将单元顶点向球心和太空作径向延伸，最后剖分径向得到多尺度体元(图 1)。按此思路构建的三维格网对球面等积格网具有很好的继承性，径向的不同剖分方法可得到不同性质的三维格网。球面三角形、四边形和六边形格网的公共孔径为四孔，且三维空间大多采用八叉树剖分[28]。为便于公式推导，本文以球面四孔剖分、径向二叉树剖分为例展开研究。
图 1 三维全球离散格网构建基本思路Fig. 1 Basic idea of 3D DGGS construction 图选项
按照图 1思路得到的体元顶点、边界在径向规则对齐，称这种直接剖分方案为规则剖分模式，如图 2(a)所示。图 2是二十面体的单个菱形结构在三维空间剖分一次后的结果。表面指径向划分处与地球表面同一球心但不同半径(距离球心的高度)的球形表面，其中最大半径的表面称为最外表面(图 2(a))。规则剖分使得体元向球心方向迅速收缩，一种可行的解决方案是每次规则剖分后将最靠近球心的体元聚合为其父单元，称为退化剖分模式，如图 2(b)所示。退化剖分减缓了体元向球心收缩的趋势，但体元顶点和边界不能像规则剖分一样在径向对齐。
图 2 规则和退化剖分立体图(第1层)Fig. 2 Stereograms of regular and degenerate refinement (level 1) 图选项
体积和表面积是衡量体元性质的重要指标，本文给出一般计算方法。由图 2可知，体元上下表面边界是球面圆弧，侧面是直线。记表面剖分层次为n′，半径为r的体元底面面积为
(1)
式中，F(n′)是表面单元数量。如图 2(b)所示，由棱锥体积公式可知下底面(靠近球心一侧，下同)半径为r1，上底面(靠近最外表面一侧，下同)半径为r2的体元体积为
(2)
体元侧面可采用扇形面积公式计算。记下底面周长为c1，上底面周长为c2，则侧面积为
(3)
则由式(1)和式(3)可计算体元表面积。
1.2 剖分模式统一描述
图 2下一层次剖分结果的侧面结构如图 3所示。规则剖分径向的划分位置从球心开始，分别记为l0, l1, …, l2n－1, l2n(图 3(a))，其中n是体元整体剖分层次(等于表面单元剖分层次n′)。退化剖分中每次剖分未被聚合的部分称为圈壳(图 3(b))，因此每个层次都会产生一个新的圈壳。同一圈壳内径向划分位置记为l1, l2, …, l2n－k－1，其中k表示圈壳序号，各圈壳边界位置记为L0, L1, …, Lk(图 3(b))。针对退化剖分，体元整体剖分层次n≥n′。
图 3 规则和退化剖分侧面图(第2层)Fig. 3 Lateral view of regular and degenerate refinement (level 2) 图选项
由于球面格网等面积，因此通过调整径向划分的位置可得到等体积格网，以满足OGC标准的要求。也可为了便于计算，等间距划分径向以获得规则的几何分布；或者兼顾体积和几何性质，设计平衡两者的三维格网。为统一描述不同剖分模式，本文提出式(4)所示的统一表达式
(4)
通过调整参数g、h、m的值可建立不同剖分模式的唯一描述，以满足不同的应用需求。
1.3 剖分模式设计1.3.1 径向规则剖分
当h=0、m=1时，为规则剖分，li=
(1) RES剖分。当g=1时，
(5)
图 4 规则等间隔剖分Fig. 4 RES subdivision model 图选项
(2) REV剖分。当g=3时，
(6)
图 5 规则等体积剖分Fig. 5 REV subdivision model 图选项
式中，l2n=1；l0=0。
将式(6)写成矩阵形式
(7)
解方程得
(8)
(3) RM剖分。当g∈(1, 3)时，径向剖分位置在g=1和g=3之间，当g=2时，可均衡考虑径向几何分布和体元体积，此时
图 6 规则均衡剖分Fig. 6 RM subdivision model 图选项
1.3.2 径向退化剖分
当h≠0、m=0时，为退化剖分，li=
(1) DES剖分。当h=1、g=1时，
图 7 退化等间隔剖分Fig. 7 DES subdivision model 图选项
根据等间隔剖分定义直接得到Lk的位置，
(2) DEV剖分。当h=3、g=3时，li=
图 8 退化等体积剖分Fig. 8 DEV subdivision model 图选项
条件①是条件②的前提，首先推导满足条件①的同一圈壳内径向划分位置l1, l2, …, l2n－k－1，再推导计算满足条件②的各圈壳边界位置L0, L1, …, Ln。第k圈壳Sk的表面剖分层次为n′=n－k+1，径向剖分层次为n－k。
同一圈壳表面剖分层次相同，因此体积计算满足式(2)。由于同一圈层体元等体积，因此条件①等价于同一径向体元等体积。若径向体积相等，则每个体元的体积
要满足条件②，需调整L1, L2, …, Ln位置，使得相邻圈壳的体元等体积，如图 9中两个灰色体元。由于第k圈壳Sk的表面剖分比第k+1圈壳Sk+1快一层次，因此表面单元数量
(9)
图 9 退化等体积剖分第n层第k、k+1圈壳Fig. 9 The k and k+1 shells of the nth level (DEV subdivision model) 图选项
将式(9)展开并写成矩阵形式
(10)
由于没有限制球心体元，因此方程有无数个解，其中一个特解符合等间隔二叉树剖分规则，便于计算，如式(11)所示，得证
(11)
(3) DM剖分。同理，当g=2、h=2时，li=
图 10 退化均衡剖分Fig. 10 DM subdivision model 图选项
2 试验与分析
首先根据式(4)生成不同剖分模式的三维格网并可视化，然后计算格网的体积和紧致度性质并与现有经典三维格网方案对比，最后尝试给出不同剖分模式的应用案例。
2.1 格网生成
球面四边形、六边形和三角形格网均基于二十面体采用等面积投影[29]构建。为验证规则剖分格网在径向的分布特征，生成第4层规则剖分的3种方案在同一径向的四边形、六边形和三角形体元，结果如图 11所示。等间隔剖分的格网在径向具有等距的间隔(图 11(a))；等体积剖分的格网越靠近外圈层越挤压体元，而越靠近球心越拉长体元(图 11(c))；均衡剖分径向间隔处于上述两者之间(图 11(b))。
图 11 规则剖分3种方案的同一径向体元(n=4)Fig. 11 The same radial cells of the three models for regular refinement (n=4) 图选项
退化剖分的特点在于有多个圈壳。以第4层三维四边形格网为例，生成二十面体单个菱形结构(图 2)对应的退化等间隔和等体积格网如图 12所示。不同颜色对应不同圈壳，圈壳间划分间隔满足式(4) Lk的计算结果，圈壳内径向划分间隔符合等间隔、等体积的要求。
图 12 单个菱形结构对应的退化剖分格网(四边形，n=4)Fig. 12 Degenerate grids corresponding to a single rhombus (quadrilateral, n=4) 图选项
2.2 性质评价与对比
现有格网质量评价指标大多是对文献[30]的14条评价指标的继承和完善[31]。其中，面积和形状是最能表达球面格网性质的定量指标，被研究人员广泛采用[32-36]。面积衡量单元区域的大小，等面积最理想。形状一般用紧致度定量表达[35-36]，紧致度衡量单元与圆的接近程度，紧致度越大则越接近圆，紧凑性越好。
体积是球体格网必须评价的指标[2, 22, 27]。体积衡量体元的大小，等体积最理想。在保持体积性质的基础上，应该考虑体元的形状，即不能如图 11(c)那样拉伸过长或挤压过扁。类比球面格网，本文引入体元紧致度(C)概念，表示与球的接近程度[23]，C为与体元相同体积(V)的正球体的表面积除以体元的表面积(S)，如式(12)所示，其值越接近1越好
(12)
以体积为1的四边形体格网为例，不同形状体元的紧致度如图 13所示，立方体紧致度最大最接近于球，也是形状最理想的体元(图 13(c))。
图 13 体元紧致度示例Fig. 13 An example of compactness 图选项
统计体积的最大值、最小值和平均值，计算最大最小体积比，比值越小，则体积性质越好。但极值只能反映整体的上限和下限，不能体现数据偏离均值的离散程度。因此，增加体积标准差指标，将其除以均值表示离散程度，值越小则体积变化越小。同理也计算紧致度及其标准差。
SDOG和SGOG分别属于经纬度四边形体格网和多面体三角形体格网，具有较好的体积性质，MSDOG更进一步改善了体积性质，因此本文选择SDOG、MSDOG、SGOG对比不同剖分模式下的体元性质，分别统计第1~15层的各项指标绘制折线图对比。
2.2.1 体积
根据球面四孔剖分规则[37]，六边形与四边形体元等体积，三角形体元体积是四边形体元体积的1/2且3种体格网的体积变化规律一致，因此本文仅计算四边形体格网的体积指标。各层最大最小体积比、体积标准差/均值的计算结果如图 14所示。
图 14 体积指标对比Fig. 14 Comparison of volume indicators 图选项
由图 14可知，规则等体积和退化等体积两种剖分模式的最大最小体积比为1，离散度为0，保证了全部体元等体积。退化等间隔剖分最大最小体积比趋近于4，优于SDOG(趋近于9)，但稍逊于MSDOG(趋近于2.5)和SGOG(趋近于2.2)，体积离散程度也有同样的规律(DES趋近于0.37，SDOG趋近于0.4，MSDOG趋近于0，SGOG趋近于0.24)。退化均衡剖分最大最小体积比趋近于2，均优于SDOG、MSDOG和SGOG，其体积离散程度(趋近于0.2)也优于SDOG和SGOG。
规则等间隔和规则均衡剖分的最大最小体积比值较大，因此未在图 14(a)中绘制。计算前15层体积指标的均值，结果见表 1，规则等间隔剖分体积变化过大，均衡剖分一定程度抑制了这种变化，但仍不理想。
表 1 体积指标的平均值Tab. 1 Average value of volume indicators
同时计算体积在单个菱形结构(图 2)的分布情况(其他菱形结构完全一致)。由于同一圈层体元等体积，因此只需计算径向的体积分布。以第4层为例，规则和退化剖分的6种剖分模式径向体积分布如图 15所示，u是体积平均值。
图 15 径向体积分布Fig. 15 Distribution of volume in the radial direction 图选项
图 15反映了体积的空间分布特征，规则等间隔(图 15(a))和规则均衡剖分(图 15(b))体积从最外圈层至最内圈层逐渐减小，呈现明显的圈层变化特征；退化等间隔(图 15(d))和退化均衡剖分(图 15(e))体积在每一圈壳变化规律相同，呈现明显的圈壳变化特征。整体来看，退化剖分(图 15(d)—(f))体积性质优于规则剖分(图 15(a)—(c))，均衡剖分(图 15(b)、(e))优于等间隔剖分(图 15(a)、(d))，等体积剖分(图 15(c)、(f))的体元体积处处相等，在体积指标中表现最优。
2.2.2 紧致度
根据式(1)—式(3)、式(12)计算单个菱形结构的格网平均紧致度和紧致度标准差。四边形体格网与SDOG和MSDOG对比，三角形体格网与SGOG对比，计算结果如图 16所示。
图 16 紧致度指标对比Fig. 16 Comparison of compactness indicators 图选项
由图 16可知，退化剖分的平均紧致度均大于规则剖分，紧致度标准差均小于规则剖分，因为退化剖分模式保持了体元整体形状变化不大。四边形体格网的紧致度不如SDOG和MSDOG(但DES和DM的紧致度离散程度优于MSDOG)，主要原因是本文表面格网等面积，几何形状不如SDOG规则。三角形体格网紧致度优于SGOG，原因是SGOG在径向保持规则等体积剖分，保证了体积变化不大但损失了紧致度。为表达紧致度的空间分布特征，以四边形体格网为例计算单个菱形结构径向的紧致度，结果如图 17所示，C为紧致度均值。由图 17可知，等间隔剖分(图 17(a)、(d))相较于等体积剖分(图 17(c)、(f))紧致度分布更加均匀，均衡剖分(图 17(b)、(e))处于两者之间。退化等间隔剖分(图 17(d))在紧致度大小和分布方面表现最优。
图 17 径向和表面紧致度分布Fig. 17 Radial and surface compactness distribution 图选项
2.3 应用模式
(1) 城市空间管控。现有城市空间管控体系以对象为主体，难以满足大量空间对象的高效管理需求[38]。三维格网可应用于城市空间管控，将以对象为主体的方式改为以格网为主体，使得对象的空间计算问题变为格网编码的索引和查询问题，降低了城市空间管控的复杂度[38]。在城市规划和数据统计中，可能涉及建筑的体积计算，因此采用等体积剖分模式有助于空间对象体积的快速计算。
由于城市涉及的径向范围较小，因此本文试验选择规则等体积剖分模式，既等体积又有利于索引。将格网系统最大半径设为6372 km，足够包含城市空间范围。图 18是城市建筑的三维六边形格网建模结果，剖分层次为21层。由图 18可知，径向范围较小的情况下，等体积剖分模式在保证体元粒度相等的同时，体元形状也基本一致。
图 18 城市建筑体格网建模Fig. 18 Modeling of city building data using 3D DGGS 图选项
(2) 广域飞行器动态管理。随着各国战略利益扩展，空域中的飞行器(如卫星、飞艇、氢气球、航空飞机、无人机)的数量和种类不断增加。这些飞行器距离地表的高度从上万千米(高轨卫星)到百米(无人机)不等且动态变化，在统一的时空框架中管理有利于不同飞行器之间的协同作业。
本文退化等间隔剖分模式具有较好的体积和紧致度性质，可支持广域飞行器动态管理。以静止轨道卫星轨迹模拟数据(距地表约36 000 km)、哨兵1B卫星轨道数据[39](距地表约700 km)、航空飞机模拟数据(距地表约8 km) 3种不同高度数量级的飞行器动态位置数据为例，将格网系统最大半径设为45 000 km，采用第12层退化等间隔四边形体格网建模如图 19所示。
图 19 不同高度空域飞行器格网动态管理Fig. 19 Dynamic management for aircraft at different heights with grids 图选项
计算第8~12层管理3种飞行器的格网体积和紧致度，结果见表 2。由表 2可知，3种飞行器对应的体元紧致度相近，即几何形状基本相同。静止轨道卫星体元的平均体积是哨兵一号卫星体元体积的2.23倍，是航空飞机体元体积的2.75倍，在径向跨度很大的条件下保证了体元粒度基本一致。
表 2 不同高度飞行器的格网指标对比Tab. 2 Comparison of grid indicator for aircraft at different heights
(3) 气象数据格网计算。气象数据包括温度、湿度、风速、风向、涡度等，分布于地表和近地空中，是预报天气和预测气候的主要参考指标，一般通过大气动力学方程计算天气或气候变化。格网可离散承载气象数据，有助于大气动力学方程的差分运算，类似应用已在洋流模拟的海洋动力学方程计算中体现[40]。
本文试验以美国国家环境预报中心的全球气象预报数据[41]为例，将其中某日零时刻的温度数据离散至四边形体格网中，将格网系统最大半径设为4600 km，剖分模式为规则等间隔，支持快速索引与计算。原始数据分辨率为0.25°×0.25°，对应第8层格网。地理范围为3°N－54°N, 72°E－136°E的第200 hPa层(高度约为10~14 km)温度数据建模结果如图 20所示。
图 20 温度场数据体格网建模Fig. 20 Modeling of temperature data using 3D DGGS 图选项
3 讨论
尽管OGC在全球离散格网系统的标准中要求三维格网等体积[25]，但等体积格网在靠近外圈层时体元变得宽且扁，在靠近内圈层时又变得窄且长(图 11(c))，导致紧致度较差(图 17(c)、(f))，因此在较大的径向空间范围内等体积剖分模式不是最佳选择方案。
从试验结果来看，规则剖分模式的体积和紧致度均不如退化剖分，但规则剖分的优势是格网空间计算简单，索引方便。因此，没有绝对完美的剖分模式，应当根据应用需求灵活选择。根据本文试验结果并结合实际应用需求，从体积、几何形状(紧致度)、计算索引效率3方面讨论如何选择合适的三维扩展剖分模式。
情况1：优先考虑体积。①若要求格网体积严格相等以方便体积计算，则选择规则等体积或退化等体积剖分模式。在此基础上，若要求格网空间计算简单，则选择规则等体积剖分模式，如城市空间管控应用案例；若要求体元形状更均匀，则选择退化等体积剖分模式。②若不要求体积严格相等，则选择退化等间隔剖分模式格网空间计算既简单，又有紧凑均匀的紧致度。
情况2：优先考虑几何形状。退化剖分模式下的紧致度性质优于规则剖分，因此应选择退化剖分，特别是在径向高度范围较大的情况下，如广域飞行器动态管理应用案例。在此基础上，若要求格网空间计算简单，则选择等间隔退化剖分；若要求体积性质较好，可选择退化均匀剖分。
情况3：优先考虑计算索引效率。规则剖分模式下的格网空间计算简单，索引无须处理退化剖分圈壳之间的情况，因此应选择规则剖分，如气象数据格网计算应用案例。在此基础上，若要求有较好的紧致度和体积性质，则选择规则均衡剖分。
没有放之四海皆准的剖分模式，本文提供了多种三维扩展的剖分模式供选择，且实现了数学表达的统一描述，为不同类型体格网的建模提供理论基础，而体积和紧致度定量计算的结果为如何选择剖分模式提供了参考依据。
4 结论与展望
本文将等积球面离散格网系统扩展至三维广域空间的体格网系统，采用统一数学描述式建立具有不同性质的格网剖分模式，揭示了不同模式下体元性质在统计学和空间分布方面的基本规律，证明了本文方案在体积和紧致度性质方面优于SDOG和SGOG，进一步完善了现有三维全球离散格网系统的理论方法。
本文多剖分模式三维扩展方法解决了现有体格网系统不能完全等体积的缺陷，不仅符合OGC标准要求，还兼顾其他常见剖分设计选项，能够满足不同应用需求。该方法已在城市空间管控、飞行目标动态管理、气象模式计算等方面得到应用验证，并在广域兵棋推演领域具有良好的应用前景。
本文以四孔二十面体等积球面格网为例建立模型，实际上该模型不仅适用于三孔、七孔等孔径的球面格网，而且也适用于基于经纬度的等积球面格网。但由于等面积全球离散格网的参考框架一般为正球，因此本文建立体格网的参考框架也是正球。若实际应用需要椭球精度，则先将球面等积格网映射至椭球，再设计相应椭球体的三维格网。
作者简介 第一作者简介：周建彬(1995-), 男, 博士生, 研究方向为数字地球与全球离散格网系统。E-mail: zhoudggs0901@139.com 通信作者：贲进 E-mail：benj@lreis.ac.cn
初审：张 琳 复审：宋启凡
终审：金 君
资讯
随着科技的进步，人类活动的范围逐渐由地表延伸至地下和高空。地壳运动、板块构造、气候气象变化、城市三维建模、飞机卫星轨迹、行星探测等大范围事件或现象得到广泛关注。地下、地表、近地及深空传感器获取的数据不仅数量庞大、种类繁多、结构各异，而且呈现立体分布、跨时空尺度、跨语义层次等特点[1]。采用投影的传统地理信息技术处理这些数据会导致空间对象断裂，空间分析不准确，数据集成与共享困难等问题[2]，亟须建立面向真实地球空间的新型数据组织模式，全方位支持多源空间数据融合处理[3]和位置相关事件推演计算。
全球离散格网系统(discrete global grid system，DGGS)将地球表面递归剖分成无缝无叠的多尺度层次结构，具有统一的空间基准，有利于集成、管理多源异构空间数据[4-5]。按照剖分方法的不同，全球离散格网系统可分为基于经纬度、基于多面体和基于地理实体3种[6]，但球面格网[7-8]只能处理地表 2.5维的数据。为了处理广域多维空间数据，部分学者提出了三维全球离散格网系统构建方案。沿地球空间的经度、纬度和半径方向递归剖分，得到三维经纬格网系统(3D latitude-longitude grid system，3D LLGS)，应用于全球地壳模型[9]、计算地幔中的P波速度[10]、模拟全球大气[11]。2n一维整型编码树的地理坐标剖分格网(geographical coordinate subdividing grid with one dimension integer coding on a 2n tree，GeoSOT)[12]的三维扩展方案GeoSOT-3D是3D LLGS的改进，将经纬度扩展到更大的虚拟空间以便与二进制结合，应用于无人机碰撞检测[13-14]和应急机场选址[15]。
尽管3D LLGS结构简单，但体元(即三维立体格网单元，下同)向两极和地心迅速收缩，导致两极与赤道、地心与地表的体元相差巨大，在大区域及两极地区的应用受限[16]。针对这一问题，有学者提出旋转并重叠放置两个相同的半球格网组件构成完全覆盖球体空间的三维阴阳格网[17]，应用于地幔对流模拟[18]和全球气候变化模拟[19]。虽然该方案解决了两极附近体元变形严重的问题，但球心附近依然存在与3D LLGS相同的问题，且这种方法使得体元在阴阳组件的边界处重叠，容易造成数据冗余和计算歧义[20]。
为了解决两极和球心附近体元迅速收缩的问题，文献[2]提出球体退化八叉树格网(spheroid degenerated octree grids，SDOG)，沿两极和球心方向逐步退化剖分，保证体元的体积变化较为均匀，应用于大型地理空间对象的建模[21]和岩石圈的多尺度可视化[22]。文献[23]认为SDOG体元体积变化仍然较大，提出改进的退化八叉树格网(modified SDOG，MSDOG)方案，通过压缩和拉伸体元进一步改善了SDOG的体积性质。但MSDOG不能保证所有体元等体积，且需要综合考虑纬度、经度和地球径向3个维度的变化，方案比较复杂。
多面体等面积全球离散格网系统分布均匀，避免了两极单元收缩的问题，等面积特性有利于空间采样和分析，被国际开放地理空间信息联盟(Open Geospatial Consortium，OGC)列为标准[24]。在OGC最新的全球离散格网标准建议稿中[25]，增加了三维等体积格网的描述。OGC认为，等体积剖分具有以下优异的性质：①提供了相同粒度的空间划分，有利于空间分析；②有助于减少空间分析中因曲面面积变化产生的混杂效应；③在三维全球离散格网系统中，度量单位是体积而不是笛卡尔坐标系的长度、球(椭球)参考框架中角度，等体积有助于度量；④有助于特定应用的计算：在球(椭球)参考框架内计算体元的体积是耗时操作，若体积是常数，则计算时只需进行简单的乘法运算。因此，三维全球离散格网系统应支持等体积剖分，是本文需重点论述的三维扩展剖分模式之一。
多面体等积球面格网的单元等面积，扩展至三维只需关注径向一个维度的变化，通过控制径向的高度调整体积大小，相较于经纬格网具有天然优势。文献[16]提出先在多面体空间构建三维格网，再等体积映射至地球空间，但该方法仅能实现局部体元等体积。文献[26]基于二十面体设计了一种多尺度三维格网，在径向通过插值修正体元的体积，使得体积从球面到球心更均等。但这个针对特定应用的三维格网也不能做到严格等体积。文献[27]将四元三角网(quaternary triangular mesh，QTM)顶点连接球心构建三维大圆弧QTM八叉树格网(sphere geodesic octree grids，SGOG)，径向采用不等间距剖分保持同一径向等体积，但不能保证所有体元的体积相等且球心附近体元依然存在快速收缩的问题。
综上所述，在应用需求驱动下三维全球离散格网系统的研究已取得初步进展。但现有三维格网大多以球面经纬度格网为基础直接扩展，存在两极收缩的“先天不足”。以多面体球面格网系统为基础的扩展方案缺乏确保所有体元等体积的方法且针对特定应用，不能满足其他应用需求。本文首先在考虑不同应用需求的基础上，提出多种三维扩展剖分模式的统一数学表达式，据此设计支持等体积格网构建并顾及其他常见设计选项的剖分模式；然后，引入体积和紧致度指标定量计算格网性质并与现有方案作对比；最后，初步探索本文不同剖分模式的应用，讨论不同应用需求背景下剖分模式的选择原则。
1 多剖分模式三维扩展方法
1.1 基本思路与概念
在球面等面积格网的基础上，将单元顶点向球心和太空作径向延伸，最后剖分径向得到多尺度体元(图 1)。按此思路构建的三维格网对球面等积格网具有很好的继承性，径向的不同剖分方法可得到不同性质的三维格网。球面三角形、四边形和六边形格网的公共孔径为四孔，且三维空间大多采用八叉树剖分[28]。为便于公式推导，本文以球面四孔剖分、径向二叉树剖分为例展开研究。
| 图 1 三维全球离散格网构建基本思路Fig. 1 Basic idea of 3D DGGS construction |
图选项 |
按照图 1思路得到的体元顶点、边界在径向规则对齐，称这种直接剖分方案为规则剖分模式，如图 2(a)所示。图 2是二十面体的单个菱形结构在三维空间剖分一次后的结果。表面指径向划分处与地球表面同一球心但不同半径(距离球心的高度)的球形表面，其中最大半径的表面称为最外表面(图 2(a))。规则剖分使得体元向球心方向迅速收缩，一种可行的解决方案是每次规则剖分后将最靠近球心的体元聚合为其父单元，称为退化剖分模式，如图 2(b)所示。退化剖分减缓了体元向球心收缩的趋势，但体元顶点和边界不能像规则剖分一样在径向对齐。
| 图 2 规则和退化剖分立体图(第1层)Fig. 2 Stereograms of regular and degenerate refinement (level 1) |
图选项 |
体积和表面积是衡量体元性质的重要指标，本文给出一般计算方法。由图 2可知，体元上下表面边界是球面圆弧，侧面是直线。记表面剖分层次为n′，半径为r的体元底面面积为
(1)
式中，F(n′)是表面单元数量。如图 2(b)所示，由棱锥体积公式可知下底面(靠近球心一侧，下同)半径为r1，上底面(靠近最外表面一侧，下同)半径为r2的体元体积为
(2)
体元侧面可采用扇形面积公式计算。记下底面周长为c1，上底面周长为c2，则侧面积为
(3)
则由式(1)和式(3)可计算体元表面积。
1.2 剖分模式统一描述
图 2下一层次剖分结果的侧面结构如图 3所示。规则剖分径向的划分位置从球心开始，分别记为l0, l1, …, l2n－1, l2n(图 3(a))，其中n是体元整体剖分层次(等于表面单元剖分层次n′)。退化剖分中每次剖分未被聚合的部分称为圈壳(图 3(b))，因此每个层次都会产生一个新的圈壳。同一圈壳内径向划分位置记为l1, l2, …, l2n－k－1，其中k表示圈壳序号，各圈壳边界位置记为L0, L1, …, Lk(图 3(b))。针对退化剖分，体元整体剖分层次n≥n′。
| 图 3 规则和退化剖分侧面图(第2层)Fig. 3 Lateral view of regular and degenerate refinement (level 2) |
图选项 |
由于球面格网等面积，因此通过调整径向划分的位置可得到等体积格网，以满足OGC标准的要求。也可为了便于计算，等间距划分径向以获得规则的几何分布；或者兼顾体积和几何性质，设计平衡两者的三维格网。为统一描述不同剖分模式，本文提出式(4)所示的统一表达式
(4)
通过调整参数g、h、m的值可建立不同剖分模式的唯一描述，以满足不同的应用需求。
1.3 剖分模式设计1.3.1 径向规则剖分
当h=0、m=1时，为规则剖分，li=
(1) RES剖分。当g=1时，
(5)
| 图 4 规则等间隔剖分Fig. 4 RES subdivision model |
图选项 |
(2) REV剖分。当g=3时，
(6)
| 图 5 规则等体积剖分Fig. 5 REV subdivision model |
图选项 |
式中，l2n=1；l0=0。
将式(6)写成矩阵形式
(7)
解方程得
(8)
(3) RM剖分。当g∈(1, 3)时，径向剖分位置在g=1和g=3之间，当g=2时，可均衡考虑径向几何分布和体元体积，此时
| 图 6 规则均衡剖分Fig. 6 RM subdivision model |
图选项 |
1.3.2 径向退化剖分
当h≠0、m=0时，为退化剖分，li=
(1) DES剖分。当h=1、g=1时，
| 图 7 退化等间隔剖分Fig. 7 DES subdivision model |
图选项 |
根据等间隔剖分定义直接得到Lk的位置，
(2) DEV剖分。当h=3、g=3时，li=
| 图 8 退化等体积剖分Fig. 8 DEV subdivision model |
图选项 |
条件①是条件②的前提，首先推导满足条件①的同一圈壳内径向划分位置l1, l2, …, l2n－k－1，再推导计算满足条件②的各圈壳边界位置L0, L1, …, Ln。第k圈壳Sk的表面剖分层次为n′=n－k+1，径向剖分层次为n－k。
同一圈壳表面剖分层次相同，因此体积计算满足式(2)。由于同一圈层体元等体积，因此条件①等价于同一径向体元等体积。若径向体积相等，则每个体元的体积
要满足条件②，需调整L1, L2, …, Ln位置，使得相邻圈壳的体元等体积，如图 9中两个灰色体元。由于第k圈壳Sk的表面剖分比第k+1圈壳Sk+1快一层次，因此表面单元数量
(9)
| 图 9 退化等体积剖分第n层第k、k+1圈壳Fig. 9 The k and k+1 shells of the nth level (DEV subdivision model) |
图选项 |
将式(9)展开并写成矩阵形式
(10)
由于没有限制球心体元，因此方程有无数个解，其中一个特解符合等间隔二叉树剖分规则，便于计算，如式(11)所示，得证
(11)
(3) DM剖分。同理，当g=2、h=2时，li=
| 图 10 退化均衡剖分Fig. 10 DM subdivision model |
图选项 |
2 试验与分析
首先根据式(4)生成不同剖分模式的三维格网并可视化，然后计算格网的体积和紧致度性质并与现有经典三维格网方案对比，最后尝试给出不同剖分模式的应用案例。
2.1 格网生成
球面四边形、六边形和三角形格网均基于二十面体采用等面积投影[29]构建。为验证规则剖分格网在径向的分布特征，生成第4层规则剖分的3种方案在同一径向的四边形、六边形和三角形体元，结果如图 11所示。等间隔剖分的格网在径向具有等距的间隔(图 11(a))；等体积剖分的格网越靠近外圈层越挤压体元，而越靠近球心越拉长体元(图 11(c))；均衡剖分径向间隔处于上述两者之间(图 11(b))。
| 图 11 规则剖分3种方案的同一径向体元(n=4)Fig. 11 The same radial cells of the three models for regular refinement (n=4) |
图选项 |
退化剖分的特点在于有多个圈壳。以第4层三维四边形格网为例，生成二十面体单个菱形结构(图 2)对应的退化等间隔和等体积格网如图 12所示。不同颜色对应不同圈壳，圈壳间划分间隔满足式(4) Lk的计算结果，圈壳内径向划分间隔符合等间隔、等体积的要求。
| 图 12 单个菱形结构对应的退化剖分格网(四边形，n=4)Fig. 12 Degenerate grids corresponding to a single rhombus (quadrilateral, n=4) |
图选项 |
2.2 性质评价与对比
现有格网质量评价指标大多是对文献[30]的14条评价指标的继承和完善[31]。其中，面积和形状是最能表达球面格网性质的定量指标，被研究人员广泛采用[32-36]。面积衡量单元区域的大小，等面积最理想。形状一般用紧致度定量表达[35-36]，紧致度衡量单元与圆的接近程度，紧致度越大则越接近圆，紧凑性越好。
体积是球体格网必须评价的指标[2, 22, 27]。体积衡量体元的大小，等体积最理想。在保持体积性质的基础上，应该考虑体元的形状，即不能如图 11(c)那样拉伸过长或挤压过扁。类比球面格网，本文引入体元紧致度(C)概念，表示与球的接近程度[23]，C为与体元相同体积(V)的正球体的表面积除以体元的表面积(S)，如式(12)所示，其值越接近1越好
(12)
以体积为1的四边形体格网为例，不同形状体元的紧致度如图 13所示，立方体紧致度最大最接近于球，也是形状最理想的体元(图 13(c))。
| 图 13 体元紧致度示例Fig. 13 An example of compactness |
图选项 |
统计体积的最大值、最小值和平均值，计算最大最小体积比，比值越小，则体积性质越好。但极值只能反映整体的上限和下限，不能体现数据偏离均值的离散程度。因此，增加体积标准差指标，将其除以均值表示离散程度，值越小则体积变化越小。同理也计算紧致度及其标准差。
SDOG和SGOG分别属于经纬度四边形体格网和多面体三角形体格网，具有较好的体积性质，MSDOG更进一步改善了体积性质，因此本文选择SDOG、MSDOG、SGOG对比不同剖分模式下的体元性质，分别统计第1~15层的各项指标绘制折线图对比。
2.2.1 体积
根据球面四孔剖分规则[37]，六边形与四边形体元等体积，三角形体元体积是四边形体元体积的1/2且3种体格网的体积变化规律一致，因此本文仅计算四边形体格网的体积指标。各层最大最小体积比、体积标准差/均值的计算结果如图 14所示。
| 图 14 体积指标对比Fig. 14 Comparison of volume indicators |
图选项 |
由图 14可知，规则等体积和退化等体积两种剖分模式的最大最小体积比为1，离散度为0，保证了全部体元等体积。退化等间隔剖分最大最小体积比趋近于4，优于SDOG(趋近于9)，但稍逊于MSDOG(趋近于2.5)和SGOG(趋近于2.2)，体积离散程度也有同样的规律(DES趋近于0.37，SDOG趋近于0.4，MSDOG趋近于0，SGOG趋近于0.24)。退化均衡剖分最大最小体积比趋近于2，均优于SDOG、MSDOG和SGOG，其体积离散程度(趋近于0.2)也优于SDOG和SGOG。
规则等间隔和规则均衡剖分的最大最小体积比值较大，因此未在图 14(a)中绘制。计算前15层体积指标的均值，结果见表 1，规则等间隔剖分体积变化过大，均衡剖分一定程度抑制了这种变化，但仍不理想。
表 1 体积指标的平均值Tab. 1 Average value of volume indicators
同时计算体积在单个菱形结构(图 2)的分布情况(其他菱形结构完全一致)。由于同一圈层体元等体积，因此只需计算径向的体积分布。以第4层为例，规则和退化剖分的6种剖分模式径向体积分布如图 15所示，u是体积平均值。
| 图 15 径向体积分布Fig. 15 Distribution of volume in the radial direction |
图选项 |
图 15反映了体积的空间分布特征，规则等间隔(图 15(a))和规则均衡剖分(图 15(b))体积从最外圈层至最内圈层逐渐减小，呈现明显的圈层变化特征；退化等间隔(图 15(d))和退化均衡剖分(图 15(e))体积在每一圈壳变化规律相同，呈现明显的圈壳变化特征。整体来看，退化剖分(图 15(d)—(f))体积性质优于规则剖分(图 15(a)—(c))，均衡剖分(图 15(b)、(e))优于等间隔剖分(图 15(a)、(d))，等体积剖分(图 15(c)、(f))的体元体积处处相等，在体积指标中表现最优。
2.2.2 紧致度
根据式(1)—式(3)、式(12)计算单个菱形结构的格网平均紧致度和紧致度标准差。四边形体格网与SDOG和MSDOG对比，三角形体格网与SGOG对比，计算结果如图 16所示。
| 图 16 紧致度指标对比Fig. 16 Comparison of compactness indicators |
图选项 |
由图 16可知，退化剖分的平均紧致度均大于规则剖分，紧致度标准差均小于规则剖分，因为退化剖分模式保持了体元整体形状变化不大。四边形体格网的紧致度不如SDOG和MSDOG(但DES和DM的紧致度离散程度优于MSDOG)，主要原因是本文表面格网等面积，几何形状不如SDOG规则。三角形体格网紧致度优于SGOG，原因是SGOG在径向保持规则等体积剖分，保证了体积变化不大但损失了紧致度。为表达紧致度的空间分布特征，以四边形体格网为例计算单个菱形结构径向的紧致度，结果如图 17所示，C为紧致度均值。由图 17可知，等间隔剖分(图 17(a)、(d))相较于等体积剖分(图 17(c)、(f))紧致度分布更加均匀，均衡剖分(图 17(b)、(e))处于两者之间。退化等间隔剖分(图 17(d))在紧致度大小和分布方面表现最优。
| 图 17 径向和表面紧致度分布Fig. 17 Radial and surface compactness distribution |
图选项 |
2.3 应用模式
(1) 城市空间管控。现有城市空间管控体系以对象为主体，难以满足大量空间对象的高效管理需求[38]。三维格网可应用于城市空间管控，将以对象为主体的方式改为以格网为主体，使得对象的空间计算问题变为格网编码的索引和查询问题，降低了城市空间管控的复杂度[38]。在城市规划和数据统计中，可能涉及建筑的体积计算，因此采用等体积剖分模式有助于空间对象体积的快速计算。
由于城市涉及的径向范围较小，因此本文试验选择规则等体积剖分模式，既等体积又有利于索引。将格网系统最大半径设为6372 km，足够包含城市空间范围。图 18是城市建筑的三维六边形格网建模结果，剖分层次为21层。由图 18可知，径向范围较小的情况下，等体积剖分模式在保证体元粒度相等的同时，体元形状也基本一致。
| 图 18 城市建筑体格网建模Fig. 18 Modeling of city building data using 3D DGGS |
图选项 |
(2) 广域飞行器动态管理。随着各国战略利益扩展，空域中的飞行器(如卫星、飞艇、氢气球、航空飞机、无人机)的数量和种类不断增加。这些飞行器距离地表的高度从上万千米(高轨卫星)到百米(无人机)不等且动态变化，在统一的时空框架中管理有利于不同飞行器之间的协同作业。
本文退化等间隔剖分模式具有较好的体积和紧致度性质，可支持广域飞行器动态管理。以静止轨道卫星轨迹模拟数据(距地表约36 000 km)、哨兵1B卫星轨道数据[39](距地表约700 km)、航空飞机模拟数据(距地表约8 km) 3种不同高度数量级的飞行器动态位置数据为例，将格网系统最大半径设为45 000 km，采用第12层退化等间隔四边形体格网建模如图 19所示。
| 图 19 不同高度空域飞行器格网动态管理Fig. 19 Dynamic management for aircraft at different heights with grids |
图选项 |
计算第8~12层管理3种飞行器的格网体积和紧致度，结果见表 2。由表 2可知，3种飞行器对应的体元紧致度相近，即几何形状基本相同。静止轨道卫星体元的平均体积是哨兵一号卫星体元体积的2.23倍，是航空飞机体元体积的2.75倍，在径向跨度很大的条件下保证了体元粒度基本一致。
表 2 不同高度飞行器的格网指标对比Tab. 2 Comparison of grid indicator for aircraft at different heights
(3) 气象数据格网计算。气象数据包括温度、湿度、风速、风向、涡度等，分布于地表和近地空中，是预报天气和预测气候的主要参考指标，一般通过大气动力学方程计算天气或气候变化。格网可离散承载气象数据，有助于大气动力学方程的差分运算，类似应用已在洋流模拟的海洋动力学方程计算中体现[40]。
本文试验以美国国家环境预报中心的全球气象预报数据[41]为例，将其中某日零时刻的温度数据离散至四边形体格网中，将格网系统最大半径设为4600 km，剖分模式为规则等间隔，支持快速索引与计算。原始数据分辨率为0.25°×0.25°，对应第8层格网。地理范围为3°N－54°N, 72°E－136°E的第200 hPa层(高度约为10~14 km)温度数据建模结果如图 20所示。
| 图 20 温度场数据体格网建模Fig. 20 Modeling of temperature data using 3D DGGS |
图选项 |
3 讨论
尽管OGC在全球离散格网系统的标准中要求三维格网等体积[25]，但等体积格网在靠近外圈层时体元变得宽且扁，在靠近内圈层时又变得窄且长(图 11(c))，导致紧致度较差(图 17(c)、(f))，因此在较大的径向空间范围内等体积剖分模式不是最佳选择方案。
从试验结果来看，规则剖分模式的体积和紧致度均不如退化剖分，但规则剖分的优势是格网空间计算简单，索引方便。因此，没有绝对完美的剖分模式，应当根据应用需求灵活选择。根据本文试验结果并结合实际应用需求，从体积、几何形状(紧致度)、计算索引效率3方面讨论如何选择合适的三维扩展剖分模式。
情况1：优先考虑体积。①若要求格网体积严格相等以方便体积计算，则选择规则等体积或退化等体积剖分模式。在此基础上，若要求格网空间计算简单，则选择规则等体积剖分模式，如城市空间管控应用案例；若要求体元形状更均匀，则选择退化等体积剖分模式。②若不要求体积严格相等，则选择退化等间隔剖分模式格网空间计算既简单，又有紧凑均匀的紧致度。
情况2：优先考虑几何形状。退化剖分模式下的紧致度性质优于规则剖分，因此应选择退化剖分，特别是在径向高度范围较大的情况下，如广域飞行器动态管理应用案例。在此基础上，若要求格网空间计算简单，则选择等间隔退化剖分；若要求体积性质较好，可选择退化均匀剖分。
情况3：优先考虑计算索引效率。规则剖分模式下的格网空间计算简单，索引无须处理退化剖分圈壳之间的情况，因此应选择规则剖分，如气象数据格网计算应用案例。在此基础上，若要求有较好的紧致度和体积性质，则选择规则均衡剖分。
没有放之四海皆准的剖分模式，本文提供了多种三维扩展的剖分模式供选择，且实现了数学表达的统一描述，为不同类型体格网的建模提供理论基础，而体积和紧致度定量计算的结果为如何选择剖分模式提供了参考依据。
4 结论与展望
本文将等积球面离散格网系统扩展至三维广域空间的体格网系统，采用统一数学描述式建立具有不同性质的格网剖分模式，揭示了不同模式下体元性质在统计学和空间分布方面的基本规律，证明了本文方案在体积和紧致度性质方面优于SDOG和SGOG，进一步完善了现有三维全球离散格网系统的理论方法。
本文多剖分模式三维扩展方法解决了现有体格网系统不能完全等体积的缺陷，不仅符合OGC标准要求，还兼顾其他常见剖分设计选项，能够满足不同应用需求。该方法已在城市空间管控、飞行目标动态管理、气象模式计算等方面得到应用验证，并在广域兵棋推演领域具有良好的应用前景。
本文以四孔二十面体等积球面格网为例建立模型，实际上该模型不仅适用于三孔、七孔等孔径的球面格网，而且也适用于基于经纬度的等积球面格网。但由于等面积全球离散格网的参考框架一般为正球，因此本文建立体格网的参考框架也是正球。若实际应用需要椭球精度，则先将球面等积格网映射至椭球，再设计相应椭球体的三维格网。
初审：张 琳 复审：宋启凡
终审：金 君
资讯
本文暂时没有评论，来添加一个吧(●'◡'●)