(1)速度更新公式 (2)位置更新公式

其中，vi是粒子的速度，pi是粒子的位置，w是惯性权重，c1和c2学习因 子，r2和r1是随机数，pi和pg分别是个体极值和全局极值。 算法的具体原理、更新方式及应用可以查看我之前发布的文章：

1、 粒子群算法(PSO)，附matlab完整代码

2、 改进粒子群优化算法汇总|粒子群算法变体合集

多目标优化问题(Multi-Objective Optimization Problem, MOP)通常由多个目标函数和一组约束条件组成，数学上可以表示为：

(2)帕累托最优解

在多目标优化中，很难找到一个能够同时最优的解。因此，引入了帕累托最优解的 概念。 一个解 x* 被称为帕累托最优解，如果不存在另一个解 x 使得 对所有 i 成立，并且至少有一个 i 使得 , 帕累托最优解的集合称为帕累托前沿(Pareto Front)，它 由所有不可被其他解支配的解组成的集合。这些解称为 Pareto 最优解，代表了多个目标之间的最优平衡点。

(3)Pareto支配关系

在多目标优化中，解 x 1Pareto 支配解 x2 如果并且仅如果以下两个条件同时满 足：

1. 解 x 1在所有目标上都不比 x2 差。

2. 解 x 1 在至少一个目标上优于 x2 。

数学表达式如下：

其中 k 是目标函数的个数， f i 是第 i 个目标函数。

(4)外部归档

外部归档(external archive)是多目标粒子群优化算法(MOPSO)中用于存储非支配 解的一种策略。外部归档可以独立于粒子群，用来保存当前找到的最优解，并用于指导搜索过程。以下是外部归档的工作流程

1.初始化：开始时，外部归档为空。

2.更新归档：在每次迭代中，将当前粒子的解与归档中的解进行比较，更新归档。

3.非支配排序：对合并后的解进行非支配排序，筛选出非支配解。

4.拥挤度计算：计算每个非支配解的拥挤度，确保解的多样性。

5.选择全局最优解：从归档中选择一个解作为全局最优解，用于更新粒子的速度和位置。为了更好地理解外部归档的工作流程，通过图示来展示。

import randomimport?matplotlib.pyplot?as?plt# 定义目标函数def objective_function1(x):    return x**2
def objective_function2(x):????return?(x?-?2)**2# 评估适应度函数def evaluate_fitness(particle):????return?[objective_function1(particle),?objective_function2(particle)]# 判断解A是否支配解Bdef dominates(a, b):????return?all(x?<=?y?for?x,?y?in?zip(a,?b))?and?any(x?<?y?for?x,?y?in?zip(a,?b))# 非支配排序函数def non_dominated_sorting(solutions):    non_dominated = []    for solution in solutions:        if not any(dominates(other, solution) for other in solutions):            non_dominated.append(solution)    return non_dominated
# 更新归档函数def update_archive(particles, archive):    combined_solutions = particles + archive    non_dominated_solutions = non_dominated_sorting(combined_solutions)    archive_size = 50  # 设定归档大小    new_archive = non_dominated_solutions[:archive_size]    return new_archive
# 初始化粒子群和归档particles = [random.random() * 5 for _ in range(10)]archive = []
# 评估并更新归档for particle in particles:    fitness = evaluate_fitness(particle)    archive = update_archive([fitness], archive)
# 提取归档中的解archive_x = [sol[0] for sol in archive]archive_y = [sol[1] for sol in archive]
# 绘制图示plt.figure(figsize=(10, 6))plt.scatter(archive_x, archive_y, color='red', label='Non-dominated Solutions in Archive')plt.xlabel('Objective 1')plt.ylabel('Objective 2')plt.title('External Archive in MOPSO')plt.legend()plt.grid(True)plt.show()

图示中，红色点表示存档中的非支配解。每次更新归档时，新找到的非支配解会被加入到归档中，同时会去除被支配的解。通过非支配排序和拥挤度计算，确保归档中的解具有多样性。最终，归档中的解被用于指导粒子的搜索方向，帮助算法找到Pareto最优解集，更多详细内容可以看这篇文章:Performance metrics in multi-objective optimization | IEEE Conference Publication | IEEE Xplore

多目标粒子群优化算法(Multi-Objective Particle Swarm Optimization, MOPSO)是一种用于解决多目标优化问题的算法，它是粒子群优化算法（PSO）的扩展。PSO是一种基于群体智能的优化技术，最初由Eberhart和Kennedy在1995年提出，用于解决单目标优化问题。

在多目标优化问题中，通常没有单一的最优解，而是存在一组称为Pareto前沿的非劣解。这些解在多个目标之间提供了最佳的权衡。MOPSO的目标是找到尽可能多的Pareto最优解，以便决策者可以根据自己的偏好选择最合适的解决方案。

(1)MOPSO的关键特点

粒子群：算法中的每个粒子代表一个潜在的解决方案，它们在搜索空间中移动以寻找最优解。

速度和位置更新：粒子根据其个人最佳位置（pbest）和全局最佳位置（gbest）更新其速度和位置。

领导选择：在MOPSO中，领导选择机制被修改以适应多目标优化，通常使用非支配排序和拥挤距离来选择领导者。

非支配排序：这是一种根据粒子的解在Pareto意义上是否支配其他解来进行排序的方法。

拥挤距离：这是一种度量粒子周围解的分布密度的方法，用于保持种群多样性。

Pareto前沿：算法试图维护一个包含非劣解的前沿，这些解在多个目标上提供了最佳的权衡。

多样性保持：MOPSO通过拥挤距离等机制来保持种群的多样性，避免所有粒子聚集在单一的最优解附近。

收敛性和多样性平衡：算法需要在找到全局最优解的同时，也要保持解的多样性，以覆盖Pareto前沿的不同区域。