飞控开发理论基础知识 (1)（飞控工作）

1. 四元数的物理定义

四元数用于表示空间旋转，上述四元数表示以为旋转轴旋转了角度。

2. 四元数乘积运算

pq相乘可以认为是两个旋转的合成旋转，先旋转q，后旋转p。

3. 旋转可对向量或者坐标系进行旋转。当表示向量旋转时，坐标系固定，向量旋转后在同一坐标系生成新的坐标。当表示坐标系旋转时，向量固定，坐标系旋转，坐标系旋转后同一向量生成在新坐标系下的坐标。向量，在四元数运算中可表示为，在同一坐标系下的旋转后的新坐标可表示为

向量保持不变，坐标系经过旋转，在旋转后的坐标系下的新坐标可表示

4. 四元数的矩阵形式。 使用四元数的叉乘运算法可进行向量和坐标系的旋转，同时，四元数运算也可转化为矩阵形式。设旋转四元数为，被旋转的向量表示为，左乘四元数可表示为

5. 四元数的微分。定义 t 时刻机体坐标系旋转的四元数，在

时间内经历了旋转p，则在 t +t时刻的机体坐标系旋转可表示为 p（ t + t）= p p。设在时间的旋转角速度为，则单位旋转轴可表示为

旋转角度可表示为

旋转四元数可表示为

合成旋转表示为

如下公式成立

忽略高阶项

此时的角速度向量是在世界坐标系中的表示，而传感器测量的角速度向量则是相对于机体坐标系的，角速度向量由机体坐标系转化为世界坐标系可表示为

则四元数的微分形似可近似表示为

微分的矩阵形式可表示为

6. 四元数，旋转矩阵，与欧拉角的关系。按照航空坐标系的规定，动欧拉角的旋转顺序为Z-Y-X，旋转的角度依次表示为Y,P,R。由惯性坐标系到机体坐标系的旋转可表示为

左乘旋转矩阵表示绕固定坐标系旋转（坐标系不动，点动），右乘旋转矩阵表示绕动坐标系旋转（点不动，坐标系转动）。欧拉坐标系则是表示绕动坐标系进行旋转，

（坐标经过旋转后，旋转坐标系后的向量乘以旋转矩阵到参考坐标系的向量）

参考坐标系中的向量乘以该矩阵得到旋转坐标系中的向量

四元数旋转矩阵可表示为

通过对应项相等，可由四元数表示欧拉角为