概述

旋转的表达方式有：欧拉角，旋转矩阵，轴角，四元素等。游戏开发中最常用的表达方式：四元数。

欧拉角

欧拉角使用翻转角（roll），俯仰角（pitch）和航向角（yaw）分别表示x，y，z轴上的旋转角度，其取值范围为（或者 ）。

欧拉角容易出现的问题：

1. 不易在任意方向的旋转轴插值；
2. 万向节死锁；
3. 旋转的次序无法确定。

万向节死锁

万向节死锁，数学上叫做奇异性。

一个典型的万向锁问题可以表述如下：先heading45°再pitch90°，这与先pitch90°再bank45°是等价的。事实上，一旦选择±90°作为pitch角，就会导致第一次旋转和第三次旋转等价，整个旋转表示系统被限制在只能绕竖直轴旋转，丢失了一个表示维度。这种角度为±90°的第二次旋转使得第一次和第三次旋转的旋转轴相同的现象，称作万向锁。

可以使用手中的手机感受一下。先将手机屏幕面于地面平行，绕Z轴旋转任意角度，然后将手机向上仰90度，使得屏幕面和地面垂直，这样不论如何，第三次旋转和第一次旋转等价。

轴角

轴角用一个以单位矢量定义的旋转轴，再加上一个标量定义的旋转角来表示旋转。通常的表示为?? ，前三个表示轴，最后一个表示角度，非常直观和紧凑。

轴角的局限：

1. 不能进行简单的插值；
2. 轴角形式的旋转不能直接施于点或矢量，必转换至矩阵或者四元素；

四元数

四元素感觉上就是轴角的进化，也是使用一个3维向量表示转轴和一个角度分量表示绕此转轴的旋转角度，即，其中

表示旋转轴的矢量，表示绕此轴的旋转角度。四元数中的每个数都是经过“处理”的轴和角，与轴角描述的“四元组”并不是一个空间下的东西，首先是一个3维坐标下的矢量，而则是级坐标下的角度，简单的将他们组合到一起并不能保证他们插值结果的稳定性，因为他们无法归一化，所以不能保证最终插值后得到的矢量长度（经过旋转变换后两点之间的距离）相等。而四元数是在统一的4维空间中（四元数（Quaternion）的线性空间意义 - 知乎），方便归一化来插值，又能方便的得到轴、角。在3D图像的信息数据处理领域，用四元数再合适不过了。相比于矩阵，四元素也只要存储4个浮点数，优势很明显。

四元数相关计算

乘法

给定两个四元数p和q，分别代表旋转P和Q，则乘积pq表示两个旋转的合成（即旋转了Q之后再旋转P），并不是用加法。四元数的乘法定义如下，利用简单的分配律就是了：

求模

单位化

求共轭

求逆

对于向量逆的定义，

对于单位四元素，分母为1，所以

用四元数旋转矢量

给定一个矢量，再给定一个旋转的单位四元素，让旋转。

首先将改写成四元素的形式，接下来要旋转须先用乘以矢量，再后乘以??。

对于旋转多个四元数，比如旋转矩阵。则

注意顺序。

四元数插值

四元数最大的优势是可以方便地进行插值。

线性插值

线性插值最为简单，效率也很高。

给定两个旋转四元素和??代表旋转和旋转，找到旋转到旋转之间的的旋转：

注意，这里的??实际上是沿弦上走了??，而不是在球面上走??，这样就会导致当??以恒定速度改变时，角度的变化并非恒定。

为了解决这个问题，就出现了球面线性插值。

球面线性插值

给定四元素??和??，则

其中??是两个四元数的夹角，。

四元数的转换

四元数转欧拉角

欧拉角转四元数

四元数转旋转矩阵

旋转矩阵转四元数

假设旋转矩阵为

由“四元数转旋转矩阵”可知以下等式关系：

情况1：

四元数为

其中，要求满足

特殊情况

如果，即，则求解四元数的过程为如下3种情况。

情况2：

如果，

情况3：

如果，

情况4：

如果，