四元数是什么（四元数到底是干什么的）

向量。

大家都知道力、位移、电场强度、动量，这些是向量或矢量(有方向的数量)，能量、功率、时间这些是数量或标量。但是大家有没有考虑过，假如我要让一个向量(矢量)或物体旋转，那么我应该怎么表示和计算？大部分人可能都想不到怎么旋转，实际上方法很多，有四元数、旋转矩阵等。

这时候我来讲一下，这是一个数字叫做四元数，大家可能听不来，那么我从头开始讲。在高中学习大家应该都了解过复数中的二元复数，它是型如a+bi的数，其中i是虚数单位且等于根号-1。

这时候我们拿出四元数，应当是四元复数，它是q=ai+bj+ck+d，其中i、j、k都是虚数单位且都等于根号-1。那么有什么区别吗？实际上大小相等，互相垂直。i代表方向朝向x，j代表方向朝向y，k代表方向朝向z。

和二元复数a+bi不同的是，四元数的基本单位ijk互相垂直，有方向。同理这时候我们要整出四根相互垂直的坐标轴，但是很显然二维显示器想显示三维世界都很难，更何况四维空间？所以我们不显示四元数的投影。

实际上我们可以把四元数看成一个向量(a、b、c)和一个数。这时候我们需要引入一个概念：轴角。我们设轴朝向一个任意的单位方向向量v(就是模长=1的向量)，绕着轴转了0度，就像这样遵循右手旋转。

相信这张图大家并不熟悉，在物理书上有物理老师教右手螺旋定则时用的，还要求你背下来，这时候该物体(也可能是待旋转的向量)就产生了旋转。四元数可以当作轴角来理解，它的虚部就是该单位向量v乘sin(日/2)，实部是cos(日/2)。

这时候我们要整出四根相互垂直的坐标轴，但是很显然二维显示器想显示三维世界都很难，更何况四维空间？所以我们不显示四元数的投影。实际上我们可以把四元数看成一个向量(a、b、c)和一个数。

这时候我们需要引入一个概念：轴角。我们设轴朝向一个任意的单位方向向量v(就是模长=1的向量)，绕着轴转了0度，就像这样遵循右手旋转。相信这张图大家并不熟悉，在物理书上有物理老师教右手螺旋定则时用的，还要求你背下来，这时候该物体(也可能是待旋转的向量)就产生了旋转。

四元数可以当作轴角来理解，它的虚部就是该单位向量v乘sin(日/2)，实部是cos(日/2)。这时候我们要整出四根相互垂直的坐标轴，但是很显然二维显示器想显示三维世界都很难，更何况四维空间？所以我们不显示四元数的投影。

实际上我们可以把四元数看成一个向量(a、b、c)和一个数。这时候我们需要引入一个概念：轴角。我们设轴朝向一个任意的单位方向向量v(就是模长=1的向量)，绕着轴转了0度，就像这样遵循右手旋转。

相信这张图大家并不熟悉，在物理书上有物理老师教右手螺旋定则时用的，还要求你背下来，这时候该物体(也可能是待旋转的向量)就产生了旋转。四元数可以当作轴角来理解，它的虚部就是该单位向量v乘sin(日/2)，实部是cos(日/2)。这时候我们要整出四根相互垂直的坐标轴，但是很显然二维显示器想显示三维世界都很难，更何况四维空间？所以我们不显示四元数的投影。

实际上我们可以把四元数看成一个向量(a、b、c)和一个数。这时候我们需要引入一个概念：轴角。我们设轴朝向一个任意的单位方向向量v(就是模长=1的向量)，绕着轴转了0度，就像这样遵循右手旋转。

相信这张图大家并不熟悉，在物理书上有物理老师教右手螺旋定则时用的，还要求你背下来，这时候该物体(也可能是待旋转的向量)就产生了旋转。四元数可以当作轴角来理解，它的虚部就是该单位向量v乘sin(日/2)，实部是cos(日/2)。这时候我们就用轴角成功表示出了四元数。

·然后讲一下四元数的基本运算规则。首先加减法就不说了，太简单了，它就是逐位相加法。然后乘法，仅乘法就有很多不同算法，有乘、内积、外积、偶积、数乘，这里只讲乘，它遵循j=-ji=k，jk=-kj=i，ki=-ik=j，jjk=-1。

这样公式如下，但是不好记。为了简化记忆和理解，先分成向量和数字，再分成四步运算。一：向量叉乘。二：数字乘法。三：向量数乘。四：向量点乘。

在这四个积上处理得到四元数乘公式，还有四元数的模，就是和向量差不多。向量是根号(a2+b2+c2+d2)。同理四元数就是根号(a2+b2+c2+d2)。

·然后就是四元数的共轭，用q*表示。和二元复数一样，二元复数也有共轭，就是把a+bi的b取相反数。同理四元数共轭就是将四元数的i、j、k的系数取反。

·然后是四元数的e，用q-1表示，就是将四元数的共轭除以四元数的模的平方。

这时候肯定有人问，怎么用四元数对向量或物体进行旋转？需要导入公式v后=qvq-1。v是待旋转的向量或者物体局部坐标系的顶点坐标，q是旋转四元数，v后是旋转后的向量，这样该向量就完成旋转了。

其它旋转方式：欧拉角。

·然后来说一下其它旋转。首先是欧拉角，有很多种，一般是XYZ旋转了x同时旋转了y和z，旋转了y同时旋转了z，因此在旋转中会出现怪现象，就是欧拉万向锁，就是将y轴旋转90角度后，再旋转x或z轴会相互抵消。

·其它旋转方式：q是被作用的四元数，p是施加作用的四元数，q'是结果。d'=pd，d=dp。绕世界坐标系旋转，绕局部坐标系旋转，公式就是q=qp，同理局部坐标系旋转是q'=pq。

四元数在很多方面有用处，如量子力学、物理学、汽车运动研究、碰撞物体动量研究，甚至二次元和三次元游戏开发。这里只是简单的讲述，实际上很复杂